線形代数例

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

ステップ 1

$6 - i$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

ステップ 1.2

式を書き換えます。

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

ステップ 2

$\frac{6}{6 + i}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{6 + i}$

ステップ 3

$\frac{6}{6 + 1 i}$ の分子と分母に $6 + 1 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

ステップ 4

掛け算します。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

ステップ 4.2.2

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(6 + 1 i) (6 - i)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

ステップ 4.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

ステップ 4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

ステップ 4.3.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

ステップ 4.3.2.5

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

ステップ 4.3.2.6

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

ステップ 4.3.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

ステップ 4.3.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

ステップ 4.3.2.9

$- 6 i$ と $6 i$ をたし算します。

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

ステップ 4.3.2.10

$36$ と $0$ をたし算します。

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

ステップ 4.3.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

ステップ 4.3.4

$36$ と $1$ をたし算します。

$\frac{36 - 6 i}{37}$

ステップ 5

分数 $\frac{36 - 6 i}{37}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

ステップ 7

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 8

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 9

$a = \frac{36}{37}$ と $b = - \frac{6}{37}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10

$| z |$ を求めます。

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ステップ 10.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 10.1.1

積の法則を $- \frac{6}{37}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10.1.2

積の法則を $\frac{6}{37}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$\frac{6^{2}}{37^{2}}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10.2.3

$6$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10.2.4

$37$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

ステップ 10.2.5

積の法則を $\frac{36}{37}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

ステップ 10.2.6

$36$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

ステップ 10.2.7

$37$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

ステップ 10.2.8

公分母の分子をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

ステップ 10.2.9

$36$ と $1296$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

ステップ 10.3

$1332$ と $1369$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

$37$ を $1332$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

ステップ 10.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

$37$ を $1369$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

ステップ 10.3.2.3

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

ステップ 10.4

$\sqrt{\frac{36}{37}}$ を $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

ステップ 10.5

分子を簡約します。

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ステップ 10.5.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

ステップ 10.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

ステップ 10.6

$\frac{6}{\sqrt{37}}$ に $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ をかけます。

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

ステップ 10.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 10.7.1

$\frac{6}{\sqrt{37}}$ に $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ をかけます。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

ステップ 10.7.2

$\sqrt{37}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

ステップ 10.7.3

$\sqrt{37}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

ステップ 10.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

ステップ 10.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

ステップ 10.7.6

${\sqrt{37}}^{2}$ を $37$ に書き換えます。

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ステップ 10.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{37}$ を $37^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 10.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.7.6.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

ステップ 10.7.6.5

指数を求めます。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

ステップ 11

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

ステップ 12

$\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ の逆正接が第四象限で角を作るので、角の値は $- 0.16514867$ です。

$θ = - 0.16514867$

ステップ 13

$θ = - 0.16514867$ と $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ の値を代入します。

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$

線形代数 例

線形代数例